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二叉查找树(BST)的特性

(1) 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。

(2) 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。

(3) 左、右子树也分别为二叉排序树。

下图中这棵树,就是一颗典型的二叉查找树:

Alt BST
如果要查找图中值为10的节点:
Alt BST
顺序为:先查看根节点9;由于10 > 9,因此查看右孩子13;由于10 < 13,因此查看左孩子11;由于10 < 11,因此查看左孩子10,发现10正是要查找的节点。

这种方式正是二分查找的思想,查找所需的最大次数等同于二叉查找树的高度。在插入节点的时候也是利用类似的方法,通过一层一层比较大小找到新节点适合插入的位置。

二叉查找树的缺陷

二叉查找树在多次插入新节点之后可能树结构的不平衡,形成线性结构,降低查找性能。
例如,假设初始的二叉查找树只有三个节点,根节点值为9,左孩子值为8,右孩子值为12:
Alt BST
接下来我们依次插入如下五个节点:7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性,结果会变成什么样呢?
Alt BST
为解决这一缺陷,于是……

红黑树诞生

红黑树(Red Black Tree)是一种自平衡的二叉查找树,除了符合二叉查找树的基本特性外,它还具有下列的附加特性:
① 节点是红色或黑色。
② 根节点是黑色。
③ 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL节点)。
④ 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
⑤ 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

下图中这棵树,就是一颗典型的红黑树:
Alt BST

红黑树从跟到叶子的最长路径不会超过最短路径的2倍。
在插入或删除节点时红黑树的规则可能被打破,这就需要旋转或变色来维持我们的规则。

什么情况下会破坏红黑树的规则,什么情况下不会破坏规则呢?我们举两个简单的栗子:

栗子1:不会破坏规则
向原红黑树插入值为14的新节点:
Alt BST
栗子2:会破坏规则
向原红黑树插入值为21的新节点:
Alt BST
由于父节点22是红色节点,因此这种情况打破了红黑树的规则4(每个红色节点的两个子节点都是黑色),必须进行调整,使之重新符合红黑树的规则。调整有两种方法[ 变色 ][ 旋转 ];旋转又分为[ 左旋转 ]和[ 右旋转 ]。

变色:

为了重新符合红黑树的规则,尝试把红色节点变为黑色,或者把黑色节点变为红色。

下图所表示的是红黑树的一部分,需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色,不符合规则4,所以把节点22从红色变成黑色:
Alt BST
但这样并不算完,因为凭空多出的黑色节点打破了规则5,所以发生连锁反应,需要继续把节点25从黑色变成红色:
Alt BST
此时仍然没有结束,因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点,需要继续把节点27从红色变成黑色:
Alt BST

旋转

左旋转:
逆时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的右孩子取代,而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异,大家看下图:
Alt BST
图中,身为右孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转:
顺时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子。大家看下图:
Alt BST
图中,身为左孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

我们以刚才插入节点21的情况为例:
Alt BST
首先,我们需要做的是变色,把节点25及其下方的节点变色:
Alt BST
此时节点17和节点25是连续的两个红色节点,那么把节点17变成黑色节点?恐怕不合适。这样一来不但打破了规则4,而且根据规则2(根节点是黑色),也不可能把节点13变成红色节点。

变色已无法解决问题,我们把节点13看做X,把节点17看做Y,像刚才的示意图那样进行左旋转:
Alt BST
Alt BST
Alt BST
由于根节点必须是黑色节点,所以需要变色,变色结果如下:
Alt BST
这样就结束了吗?并没有。因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4,其他路径的黑色节点个数是3,不符合规则5。

这时候我们需要把节点13看做X,节点8看做Y,像刚才的示意图那样进行右旋转:
Alt BST
Alt BST
Alt BST
最后根据规则来进行变色:
Alt BST
如此一来,我们的红黑树变得重新符合规则。这一个例子的调整过程比较复杂,经历了如下步骤:

变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色

红黑树的应用有很多,其中 JDK 的集合类 TreeSet 和 TreeMap 底层就是用红黑树实现的。另外Java 8 中的 HashMap 也用到了红黑树。